动画讲解 · 2026新高考I卷数学第19题

先建立直觉

$D(x_0)$ 到底在问什么？

站在点 $x_0$，往旁边走一步 $d$。走过去之后函数值变大了吗？
变大 → 这一步 $d$ 收进 $D(x_0)$；变小 → 不要。
$D(x_0)$ = 所有「能让函数值上升」的位移 $d$ 的集合。

起点 $f(x_0)$

–

走到 $f(x_0{+}d)$

–

变化量

–

位移 $d$ =0.50

👆 拖动我，看上面三个数字怎么跳

$f(x)$ 曲线起点 $x_0$升高 ($d\in D$)降低 ($d\notin D$)

第 (1) 问 · 热身

求 $D(-1)$

这里 $f(x)=2^x\,(x<0)$，$f(x)=1-x\,(x\ge0)$。起点值 $f(-1)=2^{-1}=0.5$。
要找所有让 $f(-1+d)>0.5$ 的 $d$。

门槛 $f(-1)$

0.50

$f(-1{+}d)$

–

高出门槛

–

这条是 $d$ 的数轴 · 绿区 $=$ 最终答案 $D(-1)=(0,\tfrac32)$ · 金标 $=$ 当前 $d$

d=−103/2d=2.2

位移 $d$ =0.50

👆 拖动看金色标记进出绿区 — 在绿区里 $d$ 就属于答案

✅ 答案：$D(-1)=\left(0,\tfrac32\right)$

第 (2) 问 · 奇函数

为什么 $f(x_1)\le f(x_2)$ 能推出 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$？

$f$ 是奇函数 ⟹ 一条整体上升的曲线：负半轴 $2^x\in(0,1)$，正半轴 $-2^{-x}\in(-1,0)$。

一句话直觉：站得越低的点，越「容易」往上走 —— 能上升的位移更多。所以 $x_1$ 站得低（值更小），它的上升位移集合 $D(x_1)$ 就更大，把 $D(x_2)$ 整个包住。

❓ 为什么粉色($D(x_2)$)都在 $d>0$ 一侧、不在左边？
因为 $D$ 装的是「迈几步 $d$」，不是「落在哪」。这里 $x_2=-1.2$ 在负半轴，曲线 $f=2^x$ 是往右上升的：
· 往左走($d<0$) → 到更小的负数 → 值更低 → ❌ 不收
· 往右走($d>0$) → 值更高 → ✅ 收，直到迈到 $0$（即 $d=1.2$）为止。
所以 $D(x_2)=(0,1.2)$ 全在右边。「更高的点在右边」是因为曲线在上升 —— 这正是直觉的关键。

$x_1$（低，集合大）$x_2$（高，集合小）$D$ 区间

下方两条数轴是 $D(x_1)$（黄）与 $D(x_2)$（粉）：粉色整段都落在黄色里 → $D(x_2)\subseteq D(x_1)$。

第 (3) 问 · 压轴之眼

从「局部线索」逼出「整体单调」

只知道两条抽象规则（① 值低集合大；② $0<x<1$ 时 $f(x)<f(0)$）和负半轴 $f=2^x$，要证 $f(0)\ge1$ 且 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 递增。

反证：假设 $f(0)<1$。因为 $x\to0^-$ 时 $2^x\to1$，能取一个紧贴 0 的 $x_0<0$，使 $f(0)<f(x_0)<1$。
由规则① 得 $D(x_0)\subseteq D(0)$。但位移 $d=-x_0/2$ 让 $x_0$ 沿指数段升高 ⟹ $d\in D(x_0)$；可 $0<d<1$ 时规则②说 $f(d)<f(0)$ ⟹ $d\notin D(0)$。矛盾！所以 $f(0)\ge1$。

红色虚线 $y=2^{x-1}$ 是引理 P 给的「天花板」，把 $(0,1)$ 上的 $f$ 牢牢压在下面；绿点标出 $f(0)\ge1$。