2026 新高考 I 卷由教育部统一命制，被 11 个省份采用（浙江、山东、广东、福建、湖南、湖北、河北、江苏、江西、安徽、河南），是覆盖最广、考生规模最大的卷种。第 19 题为全卷压轴，围绕一个由函数自定义的集合 $D(x)$ 展开，被一线教师评为今年"最震撼的一道题"。试卷原件（12 页含解析）见仓库 paper/ 下的 PDF。
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$。对任意 $x_0\in\mathbb{R}$，定义集合 $$D(x_0)=\{\,d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\,\}.$$
(1) 若当 $x\ge0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；
(2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且 $x_1x_2\ne0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；
(3) 设 $f(x)$ 满足：① 若 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；② 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$。
(i) 证明：$f(0)\ge1$； (ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增。
$f(-1)=2^{-1}=\tfrac12$。令 $x=-1+d$，要 $f(-1+d)>\tfrac12$：
• $d<1$（即 $x<0$）：$2^{-1+d}>2^{-1}\iff d>0$，得 $0<d<1$。
• $d\ge1$（即 $x\ge0$）：$1-(-1+d)=2-d>\tfrac12\iff d<\tfrac32$，得 $1\le d<\tfrac32$。
合并：$\boxed{D(-1)=\left(0,\tfrac32\right)}$
奇函数 ⟹ $f(0)=0$，$x>0$ 时 $f(x)=-2^{-x}$，于是 $$f(x)=\begin{cases}2^x,&x<0\\0,&x=0\\-2^{-x},&x>0\end{cases}\qquad D(x)=\begin{cases}(0,-x),&x<0\\(-\infty,-x]\cup(0,+\infty),&x>0\end{cases}$$
由 $f(x_1)\le f(x_2)$ 且 $x_1x_2\ne0$ 分类讨论：
• 同负：$x_1\le x_2<0\Rightarrow(0,-x_2)\subseteq(0,-x_1)$ ✓
• 同正：$0<x_1\le x_2\Rightarrow(-\infty,-x_2]\subseteq(-\infty,-x_1]$ ✓
• $x_1>0,x_2<0$：$D(x_2)=(0,-x_2)\subseteq(0,+\infty)\subseteq D(x_1)$ ✓
• $x_1<0,x_2>0$：前提 $f(x_1)\le f(x_2)$ 不成立，无需证。
故 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$。$\blacksquare$
反设 $f(0)<1$。因 $x\to0^-$ 时 $2^x\to1$，取 $x_0<0$ 充分接近 $0$ 使 $f(0)<2^{x_0}=f(x_0)<1$。由 ① 得 $D(x_0)\subseteq D(0)$。
故 $\boxed{f(0)\ge1}$。$\blacksquare$
关键引理 P：对 $0<u<1$ 有 $f(u)\le2^{u-1}<1$。
设 $0<x_1<x_2$，$h=x_2-x_1$。反设 $f(x_2)\le f(x_1)$，由 ① 得 $D(x_1)\subseteq D(x_2)$。利用负半轴 $f=2^x$ 的严格单调性与引理 P，可在 $D(x_1)$ 中构造平移量 $d^\*$ 使 $x_1+d^\*$ 落到负半轴（值 $>f(x_1)$，故 $d^\*\in D(x_1)$），而 $x_2+d^\*$ 处的值被引理 P 上界压制至 $\le f(x_2)$（即 $d^\*\notin D(x_2)$）—— 与 $D(x_1)\subseteq D(x_2)$ 矛盾。故 $f(x_2)>f(x_1)$，$f$ 在 $(0,+\infty)$ 严格递增。$\blacksquare$
| 小问 | Claude 结论 | 扫描件标答 | 一致 |
|---|---|---|---|
| (1) | $D(-1)=(0,\tfrac32)$ | $(0,\tfrac32)$ | ✅ |
| (2) | 三类分讨证包含 | 同 | ✅ |
| (3i) | 反证 $f(0)\ge1$ | 同 | ✅ |
| (3ii) | 引理 P + 平移构造 | 同（标答亦称"考试常用引理"） | ✅ 结构一致 |